“Перед людиною є три шляхи до пізнання: шлях мислення- найбільш благородний, шлях наслідування-найбільш легкий і шлях особистого досвіду- найбільш важкий”.
Я, як вчитель, йду шляхом особистого досвіду. Яскравим прикладом цього є моя участь у конкурсі “Учитель року 2016″(номінація “Математика”).Сьогодні відбувся майстер-клас і це ще лиш початок……
ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ
Тисячі шляхів ведуть до помилки, до істини – тільки один.
Жан Жак Руссо
Петер Густав Лежен Діріхле
(13.2.1805 – 5.5.1859)
Петер Густав Лежен Діріхле – відомий німецький математик. Починаючи з 17років був домашнім учителем, а в 26 став професором Берлінського університету. Йому належать вагомі відкриття у галузі теорії чисел. З ім’ям Діріхле пов’язані задача, інтеграл, принцип, ряди тощо. Лекції Діріхле мали значний вплив на математиків більш пізнього часу
Цей принцип формулюється так: “Якщо п’ятьох зайців розсадити в чотири клітки, то принаймні в одній із них опиниться два зайці”.
В україномовній математичній літературі цей принцип називають принципом Діріхле на честь відомого німецького математика Петера Лежена Діріхле, який перший із допомогою такого простого твердження отримав глибокі результати про наближення ірраціональних чисел раціональними (в англомовній літературі цей принцип більше відомий як ріgеоn ргіnсіріе — “принцип голубів”)/ Зауважимо, що задачі цієї розділу не претендують на оригінальність, більшість із них уже стала математичним “фольклором”, і вже зараз складно встановити їх авторів.
Розгляньмо кілька елементарних задач.
ЗАДАЧА 1
В класі навчається 30 учнів. В диктанті 1 учень зробив 13 помилок, а інші — менше. Довести, що є принаймні 3 учні, що зробили однакову кількість помилок.
Доведення
1 учень відділений в умові, тоді учнів 30—1 = 29. Помилок може бути від 0 до 12, тобто їх кількість — 13. Припустимо, що не більше 2-х учнів зробили однакову кількість помилок, тоді всього в класі (13*2=26) — не більше 26 учнів, а це суперечить умові, адже їх 29. Отже, наше припущення хибне, і в класі є хоча б 3 учні, що зробили однакову кількість помилок.
ЗАДАЧА 2
У лісі росте мільйон ялинок. Відомо, що на кожній із них не більше ніж 800 000 голок. Доведіть, що в лісі знайдуться дві ялинки з однаковою кількістю голок.
Доведення1
Припустімо, що в лісі всі ялинки мають різну кількість голок (на деякій ялинці голок могло не бути зовсім). Тоді в лісі не більше ніж 800 001 ялинка, що суперечить умові. Тут у ролі зайців були ялинки, а в ролі кліток — усі можливі варіанти кількості голок на них.
Доведення2
Припустимо супротивне, що у цьому лісі не існує дві ялини з однаковим числом голок. Тоді існує не більше однієї ялини (одна, чи жодної), що має одну голку.
Аналогічно: існує не більше однієї ялини (одна, чи жодної) з двома голками…, існує не більше однієї ялини (одна, чи жодної) з 499999 голками, не більше однієї ялини (одна, чи жодної) з 500000 голками.
Таким чином не більше, ніж 500000 ялин мають кількість голок від 1 до 500000.
Оскільки у лісі ростуть 800000 ялин, і кожна має не більше ніж 500000 голок, то з цього випливає, що знайдеться хоча б дві ялини з однаковим числом голок!
ЗАДАЧА 3
На 5 поличках книжкової шафи 160 книг, причому на одній із них — 3 книги. Доведіть, що знайдеться поличка, на якій не менше ніж 40 книг.
Доведення
Припустімо, що на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39 книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж З + 4 • 39 = 159 книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не менше ніж 40 книг.
ЗАДАЧА 4
У місті більше ніж 8 мільйонів жителів. Науковці вважають, що в кожної людини менш ніж 200 000 волосин на голові. Доведіть, що є принаймні 41 житель з однаковою кількістю волосин на голові.
Доведення.
Оскільки 40-200000 = 8000000 (кількість волосин у людини коливається від 0 до 199 999, всього 200 000 варіантів), то, згідно з принципом Діріхле знайдеться принаймні 41 житель, що має однакову кількість волосин на голові. Тут роль предметів відіграють жителі, а роль ящиків — усі можливі варіанти кількості волосин на голові.
ЗАДАЧА 5
Доведіть, що серед 82 кубиків, кожен із яких помальовано певним кольором, існує 10 кубиків різного кольору або 10 кубиків одного кольору.
Доведення.
Якщо для розмалювання 82 кубиків використано не менше ніж 10 кольорів, то зрозуміло, що знайдеться 10 кубиків різного кольору. Якщо ж для розмалювання 82 кубиків використано не більше ніж 9 різних кольорів, то, згідно з принципом Діріхле, знайдеться принаймні 10 кубиків одного кольору. Тут у ролі предметів виступають кубики, а в ролі ящиків — кольори.
ЗАДАЧА 6
Цифри 1, 2, …, 9 розбили на три групи. Довести, що добуток цифр в одній із груп не менший за 72.
Доведення.
Оскільки 9! = 1 • 2•… • 9 = (8 • 9) • (З • 4 • 6) • (7 • 5 • 2) = 70 •722 =
(712-1)(71 + 1)=713 +712-71-1>713, то, згідно з принципом Діріхле, добуток цифр в одній із груп не менший за 72.
ЗАДАЧА 7
15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє з них зібрали однакову кількість.
Доведення
Припустімо, що твердження задачі неправильне. Тоді 15 хлопчиків зібрали щонайменше 0 + 1 + 2 + .. . + 14 = 14•15:2 = 105 грибів. Це суперечить умові.
ЗАДАЧА 8.
У класі навчається 29 учнів. Сашко Петренко зробив у диктанті 1З помилок, і ніхто інший не зробив більшої кількості помилок. Довести, що принаймні три учні зробили однакову кількість помилок.
Розв’язання
Приймемо за «клітки» всі можливі варіанти кількості помилок. їх 14, оскільки учні можуть зробити 0, 1, …, 13 помилок. «Зайцями» вважатимемо учнів, які писали диктант і яких за умовою 29. Кожного з них «садимо» у «клітку», що відповідає кількості зроблених помилок. Зрозуміло, що знайдеться «клітка», в якій «сидять» принаймні три «зайці», а це й означає, що знайдуться три учні, які зробили однакову кількість помилок.
ЗАДАЧА 9.
У п’ятих класах школи навчається 160 учнів. Довести, що знайдуться 4 учні, у яких день народження припаде на один і той самий тиждень.
Розв’язання
У році може бути максимум 53 тижні. їх і приймемо за «клітки», а за «зайців» — учнів. Розсаджуватимемо «зайців» у ті «клітки», що відповідають їх дням народження. Оскільки 160 : 53 = , то за принципом Діріхле знайдеться «клітка», у якій принаймні 4 «зайці». Це означає, що знайдеться тиждень, на який припаде день народження відразу у чотирьох учнів.
ЗАДАЧА 10
У клітинках таблиці розмірами 3×3 розмішено числа -1; 0; 1. Розглянемо вісім сум: суми всіх чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на двох діагоналях таблиці. Чи можуть усі ці суми бути різними?
Розв’язання
Нехай «клітками» будуть усі різні значення сум трьох чисел, кожне з яких набуває значення 0, 1 або -1. Зрозуміло, що таких значень 7. Це -3; -2; – 1; 0; 1; 2; З
«Зайцями» будуть набори із трьох чисел, що розмішені або в одному стовпці, або в одному рядку, або на одній із двох діагоналей таблиці. Таких наборів 8.
Як розсаджуватимемо «зайців»? Кожного «зайця» садитимемо в «клітку», що є значенням суми чисел «зайця». Тоді за принципом Діріхле знайдеться «клітка», де сидять не менше двох «зайців». А це й означає, що знайдуться дві розглядувані трійки чисел, для яких суми рівні.Відповідь Ні.
ЗАДАЧА 11
У ящику лежать 10 пар чорних рукавичок і 10 пар червоних одного розміру. Скільки рукавичок потрібно витягнути з ящика навмання, щоб серед них були:
а) хоча б дві рукавички одного кольору;
б) хоча б одна пара рукавичок одного кольору?
Розв’язання
а) Якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок, то взявши три довільні рукавички, ми отримаємо, що в одній із «кліток» знаходяться два «зайці»-рукавички. А це і вимагається в задачі.
б) Якщо взяти 20 рукавичок на одну руку, то з них не можна буде вибрати пару рукавичок одного кольору, тому шукана кількість рукавичок не менша ніж 21.
Справді, якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок (їх два), а за «зайців» — рукавички, то за узагальненим принципом Діріхле в одній з «кліток» буде не менше 11 «зайців». Це означає, що знайдеться 11 рукавичок одного кольору. Але ми маємо лише 10 пар рукавичок одного кольору. Тому всі вони не можуть бути на одну руку. Отже, серед цих 11 рукавичок знайдеться одна пара рукавичок одного кольору.
Розглянемо, як принцип Діріхле використовується до розв’язування задач на подільність. Такі задачі — класичний приклад застосування принципу Діріхле.
ЗАДАЧА 12
Довести, що серед довільних трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких ділиться на 2.
Розв’язання
Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 2. Їх усього дві: 0 і 1. «Зайцями» будемо вважати остачі від ділення на 2 трьох даних чисел. їх буде три. Розмістивши «зайців» у «клітки» (кожного «зайця» розміщаємо у «клітку», що дорівнює остачі від ділення його на 2), за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться «клітка» з двома «зайцями», тобто знайдуться два числа, що дають при діленні на 2 однакові остачі. їх сума і ділиться на 2.
ЗАДАЧА 13
Довести, що серед довільних семи чисел можна знайти три, сума яких ділиться на 3.
Розв’язання
За «клітки» приймаємо різні остачі від ділення на 3. Їх усього три: 0, 1, 2. «Зайцями» вважатимемо остачі від ділення на 3 даних семи чисел. Їх усього 7. Як і в попередній задачі, розмістивши «зайців» у «клітки» і використовуючи узагальнений принцип Діріхле, робимо висновок, що знайдуться три «зайці», що знаходяться в одній із «кліток». А це й означає, що знайдуться три числа, які дають одна¬кові остачі від ділення на 3. Їх сума ділиться на 3.
ЗАДАЧА 14
Дано 12 довільних цілих чисел. Довести, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11.
Розв’язання
Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 11. Їх усього 11. За «зайців» приймемо остачі від ділення даних чисел на 11. Їх усього 12. Розміщуючи «зайців» у «клітки» аналогічно до попередніх задач, за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться два «зайці» в одній із «кліток». А це означає, що знайдеться два числа, які дають однакові остачі від ділення на 11. Зрозуміло, що різниця цих чисел буде ділитися на 11.
Принцип Діріхле використовується і під час розв’язування задач на зафарбовування.
ЗАДАЧА 15
Кожну грань куба зафарбовано у білий або чорний колір. Довести, що знайдуться однаково зафарбовані грані, що мають спільне ребро.
Розв’язання
Розглянемо довільну вершину куба. У ній перетинаються три грані. Приймемо за «клітки» кольори, а за «зайців» — грані, що перетинаються в одній вершині. Їх усього три. Тому за принципом Діріхле знайдеться клітка, у якій міститься два «зайці». А це означає, що знайдуться дві грані, які мають спільне ребро (оскільки вони мають спільну точку) і зафарбовані однаково.
ЗАДАЧА 16
На шаховій дошці розмірами 8×8 клітинок розставлено 31 фігуру. Довести, що знайдеться вільна фігура, яка складається з трьох клітинок і зображена на малюнку.
Розв’язання
Для того щоб не було вільної фігури, складеної з трьох клітинок, у будь-якому квадраті розмірами 2х2 клітинки має розміститися не менше двох фігур. Оскільки можна покрити всю дошку 16-ма квадратиками розмірами 2×2 клітинки, що не перекриваються, то всього фігур має бути не менше 32, а у нас є 31. Отже, за сформульованим принципом знайдеться квадрат розмірами 2×2 клітинки, в якому опиниться лише одна фігура. У ній і міститься вільна фігура, що складається з трьох клітинок.
ЗАДАЧА 17
У класі 26 учнів, доведіть, що у році є місяць, коли святкують день народження точно 3 учні?
Розв’язання
Припустимо, що ми маємо найменш сприятливий варіант, коли кожного місяця є учні, що святкують день народження. Оскільки місяців 12, то якщо кожного місяця буде по два іменинника, тоді:
12*2=24, 26-24=2.
Отже, у цих двох учнів день народження припадає на місяць, у якому вже народилося два учні, тобто є хоча б один місяць, коли народилося 3 учні!
ЗАДАЧА 18
У школі навчається 962 учні. Довести, що принаймні у двох учнів збігаються ініціали.
Розв’язання
Зауважимо, що з двох букв можна утворити 2 ∙ 2 = 4 різних пар ініціалів. (Якщо це, наприклад, букви А і Б, то матимемо: А.А., А.Б., Б.А., Б.Б.). В українському алфавіті 31 буква, що може входити до складу ініціалів. Тому всього можна утворити 31 ∙ 31 = 961 різних пар ініціалів. Візьмемо 961 ящик і кожному з них нанесемо пару ініціалів. Напишемо для кожного учня його ініціали на картці і кожну картку покладемо у той ящик, на якому написано таку саму пару ініціалів. Оскільки розкладаємо 962 картки в 961 ящик, то, відповідно до принципу Діріхле, принаймні в одному ящику буде не менше від однієї картки.
ЗАДАЧА 19
У школі навчаються 400 учнів. Довести, що хоча б двоє з них народилися в один день року.
Розв’язання
Найбільше в році буває 366 днів. Якщо дні вважати клітками, як у формулюванні принципу Діріхле, а учнів ― кроликами, то в деякій клітці сидять не менше як кроликів, тобто більше від одного кролика. Отже, не менше двох учнів народилися в один день року.
Можна міркувати від супротивного. Припустимо, що кожний день відзначають день народження не більше, ніж один учень, тоді всього учнів не біль-ше від 366 ― суперечність.
ЗАДАЧА 19
Кіт Базіліо пообіцяв Буратіно відкрити велику таємницю, якщо той складе чарівний квадрат 6 × 6 із чисел +1, −1, 0 так, щоб всі суми по рядкам, по стовпцям і по великим діагоналям були різні. Чи може Буратіно скласти такий квадрат?
Розв’язання
Вказані суми чисел можуть змінюватися в межах від −6 до +6. Всього ― 13 значень. Рядків у квадраті є 6, стовпців ― 6, діагоналей ― 2. Маємо 14 різних сум. За принципом Діріхле хоча б дві з цих сум мають дорівнювати одна одній. Отже, скласти такий квадрат неможливо. ■
ЗАДАЧА 20
На Землі океан займає більше половини площі поверхні. Довести, що в світовому океані можна вказати дві діаметрально протилежні точки.
Розв’язання
Відобразимо океан симетрично центру Землі. Оскільки сума площ океану і його образу перевищує площу земної поверхні, то існує точка, що належить океану і його образу. Візьмемо за шукані цю точку разом з протилежною до неї.
ЗАДАЧА 21
На співбесіду прийшли 65 школярів. Їм запропонували 3 тестові завдання. За кожне завдання ставилася одна з оцінок: 2, 3, 4 або 5. Чи вірно, що знайдуться два школярі, що одержали однакові оцінки з усіх тестових завдань?
Розв’язання
Розглянемо всі набори з трьох оцінок за відповідні завдання. Кількість таких наборів дорівнює 43 або 64 (4 можливості за кожне з трьох тестових завдань). Оскільки число учнів більше, ніж 64, то за принципом Діріхле деяким двом учням відповідає один набір оцінок.
ЗАДАЧА 22
В класі навчається 35 учнів. Доведіть , що серед них є принаймні 2, у яких день народження одного числа (можливо, в різні місяці).
Доведення
Тут „клітки” – дні місяця, а „кролики” -учні. Оскільки треба довести, що є принаймні 2 таких учні, то припускаємо, що таких учнів є не більше одного. Тоді за 31 день місяця може відсвяткувати свій день народження не більше 31 учня. Але це суперечить умові (учнів 35). Отже, наше припущення невірне. Тому є в класі хоча б 2 таких учні, у яких день народження одного числа.
ЗАДАЧА 23
В мішку лежать кульки двох кольорів – чорного і білого. Яку найменшу кількість кульок треба витягнути, щоб серед них опинилось дві кульки одного кольору?
Розв’язання
Кульки – „кролики”, кольори – „клітки”. І за принципом Діріхле „кроликів” мало би бути хоча б на 1 більше, тому логічно припустити, що кульок мало би бути 3. Доведемо це. Припустимо, що кульок слід дістати не більше, ніж дві. Тоді одна може бути чорна, а одна біла, що не задовольняє умову. Якщо ж кульок три, то для 2-х кольорів є З кульки. Отже, за законом Діріхле знайдеться хоча б 2 кульки одного кольору.
ЗАДАЧА 24
В місті Санкт-Петербург живе три мільйони людей. Доведіть, що у
яких-небудь двох із них однакова кількість волосин на голові.
Розв’язання
Очевидно, що «кролики» – це жителі Санкт-Петербурга, «клітки»- кількість волосин на голові. Але перше запитання тут: скільки є “кліток”? Їх буде 2 000 001, оскільки люди можуть бути як з волоссям на голові, так і лисі. І знову доведення від супротивного: Припустимо, що є не більше однієї людини з певною кількістю волосся на голові. Тоді всього в місті живе не більше 2 000 001 людини, що суперечить умові. Отже, наше припущення невірне. Отже, у Санкт-Петербурзі є щонайменше двоє людей з однаковою кількістю волосин на голові.
ЗАДАЧА 25
В магазин привезли 25 ящиків яблук з трьома різними сортами
яблук – в кожному ящику по окремому сорту яблук. Довести, що серед них
знаходиться принаймні 9 ящиків яблук одного сорту.
Доведення
«Клітки» — сорти яблук; «кролики»” — ящики.
Припустимо, що кожного сорту не більше 8 ящиків. Тоді 8*3=24, а ящиків 25.
Отже, наше припущення хибне. Тому є принаймні 9 ящиків яблук одного
сорту.
ЗАДАЧА 26
10 школярів на олімпіаді розв’язали 35 задач, причому серед них є такі, що розв’язали рівно одну, рівно дві, рівно три задачі. Довести, що є
учень, який розв’язав не менше 5 задач.
Доведення
Якщо розв’язувати задачу напряму, то матимемо: Припустимо, що всі діти розв’язали не більше, ніж по 4 задачі, тоді розв’язаних задач , що задовольняє умову.
Але можна відокремити трьох учнів: одного — з однією задачею, одного — з двома, одного — з трьома задачами. Тоді відокремимо відповідно і 1+2+3=6 задач.
Маємо: 10—3=7учнів, 35—6=29 задач.
Припустимо, що кожен з 7 учнів розв’язав не більше 4 задач, тоді всього
розв’язано не більше 28 задач. А це суперечить умові. Тому є хоча б один учень, що розв’язав хоча б 5 задач.
Крім відокремлювання змінних зустрічаються ще і задачі, які потребують додаткових міркувань. Їх можна запропонувати на наступному етапі вивчення теми.
ЗАДАЧА 27
У країні Дитляндії М футбольних команд по 11 чоловік в кожній. Всі футболісти зібрались у аеропорту для поїздки в іншу країну на відповідальний матч. Літак зробив 10 рейсів у іншу країну, перевозячи при цьому по М футболістів кожного рейсу. Ще один футболіст добрався сам. Доведіть, що хочаб 1 команда зібралась у повному складі у іншій країні.
Доведення
I спосіб
Нехай жодна із команд не зібралась повним складом у іншій країні.
Літак перевіз 10М пасажирів, а ще один добрався сам, тому всього переїхало
(10М+1) футболістів. Всього ж їх було 11М. Згідно з нашим припущенням,
принаймні по одному гравцю кожної команди залишилось у аеропорту, тобто
їх залишилось не менше М гравців. Але було 11М гравців, і прилетіло (10М+1)
гравців, тобто залишилось 11М-10М-1=М-1 футболістів. Отже, наше
припущення хибне. Тому хоча б 1 команда зібралась повним складом у іншій
країні.
Слід звернути увагу, що учні могли б піти іншим шляхом міркувань. В такому випадку не слід їх зупиняти, а розібрати обидва способи розв’язання цієї задачі.
II спосіб: Нехай в країні призначення не зібралось жодної команди у повному складі. Тоді кожної команди приїхало не більше 10 чоловік, а всього приїхало не більше 10М чоловік, що суперечить умові і літак привіз 10М чоловік і 1 добрався сам. Тобто всього добралося (10М+1) чоловік. Отже, наше припущення невірне, тому хоча б одна команда зібралась повним складом у
іншій країні.
ЗАДАЧА 28
Дано 8 різних натуральних чисел, кожне з яких не перевищує 15.
Довести, що серед попарних різниць різних чисел є 3 однакові.
Доведення
Різниця двох таких попарно різних чисел може дорівнювати будь-якому числу від 1 до 14. А кількість таких пар чисел дорівнює . Тоді можна взяти „ кроликів” як пари чисел і розташувати їх по 2 в кожну „клітку”- результат різниці. І умова задачі не виконується. Але можна
також ще помітити, що любе число від 1 до 13 може бути поданим у вигляді
кількох різниць, а 14- ні :
1=2-3=4-3=… 2=5-3=6-4=… 13=15-2=14-1 14=15-1.
Тоді матимемо 13 „кліток” і 27 „кроликів” і згідно принципа Діріхле дійсно,
серед попарних різниць різних чисел є хоча б 3 однакових.
ЗАДАЧА 29
В кожній клітинці клітчастої дошки 7*7 сидить коник. Всі вони за командою перескакують на сусідню клітинку, але не по діагоналі. Довести, що після виконання цієї команди знайдеться клітинка, в якій сидить 2, або більше коників.
Доведення
Дуже часто в задачах з клітчастою дошкою застосовують метод розфарбовування в декілька кольорів. Розфарбуємо нашу дошку за принциом шахової. Тоді кожний коник сидить на білій або чорній клітинці. Причому чорних клітинок буде 25, а білих 24(або навпаки, що не є суттєвим). За командою коник, що був на чорній клітинці переходить на білу і навпаки. Отже, з 25 чорних клітинок 25 коників перестрибують на 24 білих клітинки. Тому за принципом Діріхле обов’язково знайдеться клітинка, на якій буде сидіти принаймні 2 коника.
Також принцип Діріхле використовується і в геометрії. Наведемо ще кілька прикладів геометричних задач.
ЗАДАЧА 30
Вся площина розмальована в 2 кольори. Довести, що знайдеться дві точки одного кольору, які знаходяться на відстані 1 метра одна від одної.
Доведення
Кольорів 2, тоді інтуїтивно відчувається, що точок слід брати не 1, а більше, тобто три (И кліток; (М+1)кроликів). Візьмемо три точки площини, які розташовані на відстані 1 метра одна від одної. Такі точки вибрати можливо, оскільки існує рівносторонній трикутник із стороною 1 метр. А точками будуть вершини цього трикутника. Тоді за принципом Діріхле серед трьох точок знайдеться хоча б дві однакового кольору. Що і треба було довести.
ВПРАВИ НА ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ
1. У мішку лежать 2 чорних і 2 білих кульок. Яку найменшу кількість кульок потрібно взяти з мішка, щоб серед них точно виявилося 3 кульки одного кольору?
2°. Учені дослідили, що кількість голок у їжака не перевищує 200 тисяч. Доведіть, що із 250 тисяч їжаків можна вибрати принаймні двох, що мають однакову кількість голок.
3°. У Верховну Раду обрано 336 народних депутатів, причому серед них 123 жінки, 245 — особи — представники правих сил. Доведіть, що серед правих є не менше ніж 32 жінки.
4°. У школі 30 класів і 1000 учнів. Доведіть, що у школі є клас, у якому не менше ніж 34 учнів.
5°. На Землі більше ніж 4 мільярди людей, вік яких не перевищує 100 років. Доведіть, що на Землі є двоє людей, що народилися тієї самої секунди.
6°. Яку найменшу кількість карток спортлото “6 із 49″ потрібно купити, щоб на одній із них обов’язково було вгадано хоча б один номер?
7°. У магазин завезли 25 ящиків із трьома різними сортами яблук (у кожному ящику яблука лише одного сорту). Доведіть, що серед них є принаймні 9 ящиків одного сорту яблук.
8°. У школі навчається 962 учні. Доведіть, що принаймні у двох учнів збігаються ініціали.
9°. У темній коморі лежать черевики одного розміру: 10 пар чорних і 10 пар коричневих. Яку найменшу кількість черевиків потрібно взяти з комори, щоб серед них точно можна було вибрати одну пару одного кольору (у темноті не можна відрізнити не тільки колір черевика, але й лівий від правого)?
10°. З повного набору доміно викинули всі кісточки з шістками. Чи можна викласти в ланцюг усі кісточки, що залишилися?
11°. 34 пасажири їдуть автобусом. Автобус робить 9 зупинок, причому на кожній із них нові пасажири не заходять. Доведіть, що знайдуться дві зупинки, на яких вийшла однакова кількість людей.
12°. Дано два многочлени від однієї змінної, кожний із них є сумою 4 членів непарного степеня, меншого за 25. Чи обов’язково в добутку будуть два подібних члени?
13°. Чи можна так пронумерувати вершини куба натуральними числами від 1 до 8, щоб суми номерів на кінцях кожного ребра були різними?
14°. 45 школярів на олімпіаді розв’язали 175 задач, причому відомо, що серед них є школярі, які розв’язали лише одну, дві і три задачі. Доведіть, що серед них є школяр, який розв’язав не менше ніж 5 задач.
15°. У класі 30 учнів. Кожному подобається рівно к учнів цього класу.
При якому найменшому к обов’язково знайдеться двоє учнів, які подобаються один одному?
16°. До ліфта вантажопідйомністю 320 кг підійшло 12 чоловік, загальною масою 960 кг. Доведіть, що з них можна підібрати 4 чоловіки, які разом зможуть піднятися ліфтом.
17°. Чи можна вивезти з каменоломні 50 каменів, маси яких відповідно дорівнюють 370,372,374,…,468 кг, на 7 трьохтонних машинах?
18°. На площині дано скінчену кількість точок. Доведіть, що якщо деякі з них з’єднати відрізками, то завжди знайдуться дві точки, із яких виходить однакова кількість відрізків.
19°. Дано n + 1 різних натуральних чисел, менших від 2n. Доведіть, що серед них можна вибрати таких три числа, що одне з них дорівнює сумі двох інших.
20°. Чи можна шаховим конем попасти з лівого нижнього кута шахової дошки у верхній правий, побувавши в кожному полі тільки один раз?
21°. Яку найменшу кількість полів на дошці 8×8 потрібно замалювати чорним кольором, щоб в кожному кутику, який має вигляд Д було принаймні одне чорне поле?
22°. Чи можна з 13 цеглин, розміром 1x1x2, скласти куб 3x3x3 з діркою 1x1x1 у центрі?
23°. На папері в клітинку дано 5 довільних вузлів ґратки. Доведіть, що середина одного з відрізків, які з’єднують якісь дві з цих точок, також є вузлом.
24°. Кожна клітинка прямокутної таблиці 9×153 зафарбовані білим або чорним кольором. Доведіть, що можна вибрати 5 стовпців і лінійок так, щоб 25 клітинок перетину було зафарбовано одним кольором.
25°. З листка паперу, розміром 35×35, вирізали 143 квадратики, кожен із яких складається з 4 клітинок. Доведіть, що можна вирізати ще один такий квадратик.
26°. Листок паперу в клітинку, розміром 19×19, покрито 217 квадратиками, які мають 4 клітинки. Доведіть, що один із них можна забрати так, щоб решта квадратиків все ще покривали листок.
27°. Деякі з 9 мушкетерів викликали один одного на дуель. Доведіть, що серед них є 3, що викликали на дуель один одного, або 4, між якими дуель не відбулася.
28°. У класі 25 учнів. Відомо, що серед довільних трьох учнів є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менше ніж 12 друзів.
29°. Доведіть, що з довільних 100 натуральних чисел, які не перевищують 100, а їхня сума дорівнює 200, можна вибрати кілька чисел так, щоб їх сума дорівнювала 100.
30°. У клітинках дошки 100х100 записані цілі числа так, що різниця між будь-якими двома числами у сусідніх клітинках не більша за 20. Доведіть, що, на дошці знайдеться принаймні 3 клітинки, у яких записано однакові числа.
31. На полях дошки 8×8 розставлені цілі числа, причому жодне з них не трапляється двічі. Доведіть, що є пара сусідніх клітинок, числа в яких відрізняються не менше як на 5.
32°. Частина клітинок квадрата 5×5 сині, а частина — червоні. Доведіть, що знайдуться 4 клітинки одного кольору, які розташовані на перетині двох стовпців і двох рядків.
33°. У 6 клітинках таблиці 4×4 є зірочки (*). Доведіть, що можна викреслити два стовпці та 2 лінійки, не залишивши жодної зірочки. А якщо 7?
34°. Дано 20 різних натуральних чисел, менших за 70. Доведіть, що серед їхніх різниць є 4 однакових.
35°. Дано 2000 різних натуральних чисел, які не перевищують 4000. Доведіть, що серед їхніх попарних додатних різниць є принаймні 500 однакових.
36°. Доведіть, що з 25 чотирицифрових чисел, записаних за допомогою цифр 1; 2; 3; 4, обов’язково знайдеться 2 однакових.
37°. Доведіть, що існує степінь числа 3, який закінчується цифрами 001.
38°. Доведіть, що існує число, що має вигляд 19991999… 1999, яке
ділиться на 99.
39°. Доведіть, що серед натуральних чисел 2і -1,22 -1,…,21999 -1 принаймні одне ділиться на 1999.
40°. Доведіть, що серед 51 цілого числа завжди знайдеться два, різниця квадратів яких ділиться на 100.
41°. Доведіть, що серед довільних 100 натуральних чисел можна вибрати 15 так, щоб різниця довільних двох із них ділилася на 7.
42°. Дано 12 різних двоцифрових чисел. Доведіть, що серед них можна вибрати два, різниця яких — двоцифрове число, яке записується двома однаковими цифрами.
43°. Якщо цілі числа а і т взаємно прості, то знайдеться таке натуральне п, при якому а” -1 ділиться на т.
44°. Доведіть, що серед довільних 7 натуральних чисел знайдеться 3, сума яких ділиться на 3.
Подільність чисел
Натуральні числа – це числа, які використовуються при лічбі.
Наприклад: 1;2;3…
Множину натуральних чисел позначають буквою N.
Дільником натурального числа а називається таке натуральне число, на яке а ділиться без остачі. Наприклад, дільниками числа 18 є числа: 1,2,3,6,9,18.
Кратним натурального числа а називається таке натуральне число, що ділиться на а без остачі. Наприклад:кратними числа 12 є числа: 12,24,36,48… Найменше з них — 12.
Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і саме число.
Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.
Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число у вигляді добутку простих чисел – дільників даного числа.
Ціле число a ділиться на ціле число b (b ≠ 0 ), якщо існує таке ціле с, що а = bс.
Розкладання чисел на прості множники використовується при знаходженні найбільшого спільного дільника двох або більше чисел.
Найбільший спільний дільник (НСД)
Найбільшим спільним дільником НСД двох або декількох натуральних чисел називається найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел.Найменшим спільним кратним НСК двох або декількох натуральних чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.
Щоб знайти найбільший спільний дільник декількох натуральних чисел, потрібно:
1) розкласти дані числа на прості множники;
2) виписати ті спільні множники, які є в розкладі кожного із чисел,
3) знайти добуток цих множників.
Приклади:
а) Знайти НСД (6600; 6300):
6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11,
6300 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7,
НСД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300;
При знаходженні найбільшого спільного дільника двох чисел корисно знати ще одне правило, яке називається “алгоритмом Евкліда”.
Приклад
Знайти НСД (270; 186). Поділимо 270 на 186 з остачею:
270 : 186 = 1 (ост. 84).
Потім поділимо дільник на остачу і т.д.:
186 : 84 = 2 (ост. 18),
84 : 18 = 4 (ост. 12),
18 : 12 = 1 (ост. 6),
12 : 6 = 2 (ост. 0)
!Найбільшим спільним дільником чисел 270 і 186 є остання, відмінна від 0 остача, тобто число 6.
Приклад: Знайти НСД (234; 180).
1) 234 : 180 = 1 (ост. 54),
2) 180 : 54 = 3 (ост. 18),
3) 54 : 18 = 3 (ост. 0).Значить, НСД (234; 180) = 18.
Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.
Приклади:
а) 75 і 14 – взаємно прості числа, оскільки НСД (75; 14) = 1;
б) 20, 9 і 77 взаємно прості числа, оскільки НСД (20; 9; 77) = 1
Розв’язання наступних задач ґрунтується на основній теоремі арифметики: кожне натуральне число, крім одиниці, розкладається як добуток простих множників, причому єдиним чином.
Ознаки подільності чисел можна класифікувати так:
Ознака подільності на 2
Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою ( 2, 4, 6, 8, 0), то це число ділиться на 2 без остачі. Наприклад: 150, 248, 72.
Ознака подільності на 5
Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, то це число ділиться на 5 без остачі. Наприклад: 150, 25, 78115.
Ознака подільності на 10
Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0, то це число ділиться на 10 без остачі. Наприклад: 150, 20, 78110.
Ознака подільності на 3
Якщо сума цифр у запису натурального числа ділиться на 3, то це число ділиться на 3 без остачі. Наприклад: 150, 21, 78111.
Ознака подільності на 9
Якщо сума цифр у запису натурального числа ділиться на 9, то це число ділиться на 9 без остачі. Наприклад: 153, 27, 78111.
Розглянемо деякі ознаки подільності на 4, 7, 11, 13, що не так часто зустрічаються, як на 2, 3 ,5, 9,10. Але у задачах на властивості подільності до них доводиться звертатися досить часто. Особливо це стосується олімпіадних задач.
Ознака подільності на 4
Натуральне число ділиться на 4, якщо дві останні цифри запису числа – нулі, або складають число, що ділиться на 4.Наприклад: 200; 12576 ( 76:4=19)
Ознака подільності на 7
Натуральне число ділиться на 7, якщо потроєна кількість десятків, додана до кількості одиниць ділиться на 7.Наприклад:154 перевіряємо таким чином: 15*3+4=49, 49 ділиться на 7, отже і 154 буде кратне 7.
Ознака подільності на 8
Якщо число, виражене трьома останніми цифрами даного числа а, ділиться на 8 то і число а ділиться на 8.
Ознака подільності на 11
Натуральне число ділиться на 11, якщо на 11 ділиться сума чисел, що утворені парами цифр запису числа, починаючи з одиниць.Наприклад:103785, складаємо суму: 10+37+85=132, 01+32=33, 33 ділиться на 11, отже й число 103785 ділиться на 11.
Ознака подільності на 13
Натуральне число ділиться на 13, якщо сума числа десятків з кількістю одиниць, помноженою на 4, ділиться на 13.
Наприклад:число 845 містить 84 десятки й 5 одиниць, складаємо суму 84+5*4=104, далі: 10+4*4=26 – ділиться на 13, отже й число 845 ділиться на 13.
Властивості подільності цілих чисел
Властивості простих дільників натуральних чисел
Будь-яке натуральне число (більше за одиницю) або ділиться на дане просте число р, або є взаємно простим з ним.
Якщо добуток кількох співмножників ділиться на просте число р, то принаймні один із співмножників ділиться на р.
Найменший простий дільник складеного числа а не перевищує √a.
Приклад. Найменший простий дільник числа 143 дорівнює 11, причому
11< √143 ≈ 11,96.
Наслідок. Якщо задане число q не ділиться на жодне з простих чисел 2, 3, 5,…,p, де p≤√q , то це число q — просте.
Приклад. Нехай 113 = q , тоді √113 ≈10 . Усі прості числа p ≤ √113 — це 2, 3, 5, 7.
Оскільки 113 не ділиться на жодне з цих простих чисел, то воно саме є простим.
Методи розв’язуванні задач на подільність:
Властивості парності суми чисел
Сума будь-якої кількості парних чисел завжди є парною:
2p+2k+⋯+2l=2(p+k+⋯+l)=2m, де p,k,⋯,l — будь-які цілі числа.
Різниця будь-якої кількості парних чисел завжди є парною:
2p-2k-⋯-2l=2(p-k-⋯-l)=2m, де p,k,⋯,l —будь-які цілі числа.
Зауваження. Від’ємні числа також бувають парними та непарними.
Сума парної кількості непарних чисел завжди є парною:
(2p-1)+(2k-1)+⋯+(2l-1)=2(p+k+⋯+l)-2s=2(m-s), де p,k,⋯,l, s — будь-які цілі числа.
Сума непарної кількості непарних чисел завжди є непарною:
(2p-1)+(2k-1)+⋯+(2l-1)=2(p+k+⋯+l)-2s-1=2(m-s)-1, де p,k,⋯,l, s — будь-які цілі числа.
Висновок
Парність суми кількох чисел залежить лише від парної кількості непарних доданків:
Якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.
Наслідки
Сума квадратів парної кількості квадратів непарних чисел є парною
Сума квадратів непарної кількості квадратів непарних чисел є непарною
Властивості парності добутку двох чисел
Добуток двох парних чисел завжди є парним:
2p∙2k=4pk=2(2pk)=2m, де p,k — будь-які цілі числа.
Добуток двох непарних чисел завжди є непарним:
(2p-1)∙(2k-1)=4pk-2p-2k+1=2(2pk-p-k)+1=2m+1, де p,k — будь-які цілі числа.
Добуток парного і непарного чисел завжди є парним:
2з∙(2k-1)=4pk-2p=2p(2k-1)=2m, де p,k — будь-які цілі числа.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 6.
2. Довести, що добуток п’яти послідовних натуральних чисел ділиться:
а) на 30; б) на 120.
3. Позначимо через ab число з цифрами a і b. Довести, що ab+ba ділиться на 11.
4. Миколка і Сашко купили однакові м’ячі. Скільки коштує один м’яч, якщо Миколка сплатив три- гривневими купюрами, а Сашко – п’яти-гривневими купюрами, а всього вони віддали в касу менше 10 купюр?
5. Знайти чотири таких натуральних числа, що добуток будь-яких трьох з них доданий до одиниці, ділився на четверте.
6. Знайти чотири різних цілих числа таких, що сума будь-яких трьох з них ділиться на четверте.
7. Довести, що число ababab ділиться на 7, 13, 37.
8. Щоб дізнатися, чи є число 1601 простим, його стали послідовно ділити на 2, 3, 5 і т.д. На якому простому числі можна зупинити випробування?
9. а) a+1 ділиться на 3. Довести, що число 4+7a ділиться на 3.
б) 2+a і 35-b ділиться на 11. Довести, що a+b ділиться на 11.
10. До числа 47 зліва і справа дописати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 12.
11. Знайти усі дільники числа 225.
12. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.
13. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.
музей Аптека
Ратуша
Залік 5 клас
1. Які числа називають натуральними? Найбільше натуральне число.
2.Що таке ряд натуральних чисел? Найменше натуральне число
3.Як називаються спеціальні значки за допомогою яких записують натуральні числа?
4. Що таке відрізок? Одиниці вимірювання відрізків
5.Як називають відрізки ламаної? Що таке довжина ламаної?
6.Чим характеризується пряма? Скільки точок необхідно для побудови прямої?
7.Що таке промінь?
8.Що таке координатний промінь?
9.Сформулюйте переставну властивість додавання
10.Що таке числовий вираз? Запишіть формулу шляху
11.Що таке рівняння? Що означає розв’язати рівняння?
12.Як знайти невідомий доданок? Як знайти невідомий множник?
13.Як називаються компоненти дії ділення? Як знайти невідомий дільник?
14.Як називаються компоненти дії віднімання? Як знайти невідоме зменшуване?
15.Що таке кут? Які два кути називаються рівними?
16.Які види кутів ви знаєте?
17.Яка градусна міра прямого кута? Яка градусна міра гострого кута?
18. Яка градусна міра розгорнутого кута? Яка градусна міра тупого кута?
19. Що таке периметр многокутника? Як знайти периметр квадрата?
20. Що таке прямокутник? Як знайти периметр прямокутника?
21. Що таке квадрат? Як знайти периметр квадрата?
22. Які ви знаєте трикутники за видом їх кутів?
23. Який трикутник називається гострокутним?
24. Який трикутник називається тупокутним?
25. Який трикутник називається прямокутним?
26. Які ви знаєте трикутники за кількістю рівних сторін?
27. Який трикутник називається рівнобедреним?
28. Який трикутник називається рівностороннім?Як знайти периметр даного трикутника
29. Який трикутник називається різностороннім?
30.Що означає 54 ?
31. Як знайти площу прямокутника?Що таке 1а?
32. Як знайти площу квадрата? Що таке 1га?
33.Як називаються сторони граней прямокутного паралелепіпеда? Скільки ребер має прямокутний паралелепіпед?
34. Які три виміри має прямокутний паралелепіпед? Як знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда?
35. Що таке куб? Як знайти об’єм куба?
36. Як називають число,записане над рискою дробу?
37. Як називають число, записане під рискою дробу?
38.Який дріб називається правильним?
39. Який дріб називається неправильним?
40. Що необхідно зробити, щоб додати два дроби з однаковими знаменниками?
41.Що означає риска дробу?
42. Що таке мішане число?
43. Що необхідно зробити, щоб додати два мішаних числа?
44. Що необхідно зробити, щоб помножити десятковий дріб на 10,100,1000 і т.д?
45. Що необхідно зробити, щоб поділити десятковий дріб на 10,100,1000 і т.д?
46. Що необхідно зробити, щоб помножити десятковий дріб на 0,1 , 0,01,0,001 і т.д?
47. Що таке середнє арифметичне кількох чисел?
48. Що означає масштаб 1:2000000?
Залік з геометрії для учнів 7-го класу
1. Що вивчає геометрія?
2. На які два розділи поділяється геометрія?
3. Назвіть найпростіші геометричні фігури
4. Що таке промінь? Які промені називаються доповняльними?
5. Що таке відрізок? Які відрізки називаються рівними?
6. Що таке кут?
7. Що вивчає планіметрія?
8. Що таке теорема?
9. Що таке аксіома?
10. Яка градусна міра прямого, розгорнутого, тупого і гострого кута?
11. Які два кути називаються вертикальними? Побудуйте їх
12. Теорема про властивість вертикальних кутів
13. Які два кути називаються суміжними? Побудуйте їх
14. Теорема про властивість суміжних кутів
15. Які дві прямі називаються перпендикулярними? Побудуйте їх
16. Які дві прямі називаються паралельними? Побудуйте їх
17. Сформулюйте аксіому Евкліда про основну властивість паралельних прямих
18. Як звучить ознака паралельності прямих?
19. Властивість паралельних прямих
20. Що таке трикутник?
21. Що таке периметр трикутника?
22. Які види трикутників ви знаєте в залежності від кутів?
23. Які види трикутників ви знаєте в залежності від кількості рівних сторін?
24. Що таке медіана трикутника?Яка властивість медіани рівнобедреного трикутника?
25. Що таке бісектриса трикутника? Яка властивість бісектриси рівнобедреного трикутника?
26. Що таке висота трикутника?Яка властивість висоти рівнобедреного трикутника?
27. Сформулюйте Ι ознаку рівності трикутників
28. Сформулюйте ΙΙ ознаку рівності трикутників
29. Сформулюйте ΙΙΙ ознаку рівності трикутників
30. Що таке коло?
31. Що таке круг?
32. Що таке радіус кола?
33. Що таке діаметр кола?
34. Що таке хорда кола?
35. Яке взаємне розміщення кола і прямої?
36. Як називаються сторони прямокутного трикутника?
37. Властивість катета прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута 30̊.
38. Що таке дотична до кола?
39. Яка властивість дотичної до кола?
40. Яка властивість відрізків дотичної проведених з однієї точки?
41. Під яким кутом видно діаметр кола з будь-якої точки кола?
42. Що таке січна кола?
43. Які два кола називають концентричними? Зобразіть їх
44. Яке коло називають вписаним в трикутник?
45. Яке коло називають описаним навколо трикутника?
46. Що є центром кола описаного навколо трикутника?
47. Що є центром кола вписаного в трикутник?
48. Що таке серединний перпендикуляр?
49. Скільки радіусів можна провести в колі?
50. Яка лінія є найбільшою хордою?
На базі НВК “Гармонія” м. Ужгорода відбулися змагання з футболу між загальноосвітніми навчальними закладами.
Учні 5 класу взяли участь у турнірі. Найкращою нагородою для них стали емоції отримані під час гри
«Здоров’я – не все, але все без здоров’я ніщо», – сказав Сократ. Але про це людина згадує інколи дуже пізно. Школа, крім навчання, піклується і про те, що лише духовно і фізично сильна та здорова особистість може витримати напружений ритм життя, здобути відповідні знання, правильно обрати професію та стати корисною для суспільства. Саме тому часто для своїх вихованців організовую різні види відпочинку, в тому числі і пізнавальні екскурсії. Одна з таких відбулася в рамках Дня здоровя у Невиций замок.
Там, крім розповіді про визначну памятку Закарпаття, були організовані спортивні ігри на свіжому повітрі.
Всі учні задоволені та щасливі повернулися додому, щоб з новими силами повернутися на навчання.
Блог вчителя математики Голич А. В. 