Відношення і пропорції. Золотий переріз

Тема уроку. Відношення і пропорції. Золотий переріз
Мета уроку: повторити означення пропорції; основної властивості пропорції; формувати навички складання і читання пропорції; ознайомити учнів з поняттям «золотого перерізу», показати зв’язок даної теми з довкіллям.
Тип уроку: закріплення знань, вмінь і навичок
Хід уроку
I. Мотивація навчальної діяльності
Математика створювалася людським розумом упродовж багатьох століть, а її застосування охоплюють все ширші кола буття. Колись в Америці було обіцяно премію тому, хто напише книгу під назвою „Як людина жила без математики”. Бажаючих отримати премію знайшлося чимало, але написати таку книжку ніхто не зміг. Дуже важко уявити життя людини без математичних знань. Математика – велика книга людського досвіду. На цьому уроці ви дізнаєтеся тільки про одну сторінку цієї великої книги і побачите наскільки математика близька іншим наукам. Давайте робити відкриття, а впевненості вам нададуть слова видатних людей записані на дошці. Прочитайте їх:
„У музиці чимало подібного алгебрі ”
Новаліс, німецький письменник
„ Не можна бути математиком, не будучи водночас і поетом у душі ”
К. Вейєрштрас , німецький математик
„ Математика – один із видів мистецтва ”
Н. Вінер, американський математик, „ батько кібернетики ”
Цей урок – це повернення в минуле, в час коли виникли поняття „відношення” і „пропорції”. Ми сьогодні з вами помандруємо до знаменитої давньогрецької школи Піфагора. Учні цієї школи гордо іменували себе піфагорійцями, настільки сильно вони любили і поважали свого учителя. Девізом у цій школі були “ Порядок і гармонія ”. Ці слова, а також слова сумірність, узгодженість замінювали сучасний термін пропорція. Цей термін появився значно пізніше в математиці і став означати рівність двох відношень. А от слова – гармонія, сумірність, узгодженість – до цього часу побутують в мистецтві, архітектурі
Сьогодні ми з вами спробуємо відчути себе в школі піфагорійців і ви дізнаєтеся багато цікавого про пропорцію ¸ про людей, які винайшли це поняття. Але для того, щоб мандрівка в минуле була для нас легкою і цікавою перевіримо свої знання з даної теми.
II. Актуалізація опорних знань учнів
Робота біля дошки (троє учнів)
Карточка 1
Знайдіть відношення 45:18
Карточка 2
Знайдіть 75:9
Карточка 3
Знайдіть відношення 1¸8:1¸2
Усні запитання
• Що називають відношення двох чисел а і в?
• Як називають числа а і в?
• Що показує відношення чисел а і в?
• Як називається другий член відношення? (Наступний.)
• Сформулюйте основну властивість відношення?
• Які відношення величин ви знаєте?
• Що називають пропорцією?
• Як у буквеному вигляді записати пропорцію?
• Як називають числа а і d , в і с ?
• Сформулюйте основну властивість пропорції
• Як знайти невідомий крайній член пропорції?
• Як знайти невідомий середній член пропорції?
Ви гарно попрацювали і заслужили ще одне цікаве повідомлення.
Першими відношення та пропорції вивчали давньогрецькі філософи. 2500 років тому у Греції існувала велика філософсько-математична школа, послідовники якої називали себе піфагорійцями. Усе, що робилося в цій школі, ховалося за завісою таємниці та містики. Отримані результати піфагорійці приписували одній і тій самій особі своєму вчителю Піфагору. Кажуть, що не всі послідовники Піфагора мали право бачити свого вчителя. Тому кімната для різних учнів поділялась на дві частини полотняною перегородкою: в одній знаходився Піфагор і його учні, в іншій сиділи ті, хто мав право лише слухати вчителя.
Найулюбленішою галуззю математики у піфагорійців була теорія чисел. Вони вважали, що все на світі підпорядковується тим самим законам, що й відношення цілих чисел. Вони виявили, що струни, відношення довжин яких при однаковому натязі дорівнюють відношенням 2:3, 3:4 і т.д., утворюють при одночасному звучанні акорд, тобто «злиття звуків». Такі ж самі акорди ніби утворюються під час руху Землі, Сонця, Місяця.
Піфагор був визначним математиком. Але мало хто знає, що він був також і прекрасним музикантом. Він першим здогадався про залежність між струною і мелодією. Для цього він створив однострунний інструмент монохорд і провів багато експериментів. Встановив , що чим довша струна, тим звук нижчий, чим коротша – вищий. А чим товща струна, тим звук нижчий, чим тонша – тим вищий. Але на музичному інструменті не одна, а декілька струн. Щоб усі вони звучали узгоджено, їх довжини повинні перебувати в певному відношенні Згодом монохорд Піфагора перетворився в домбри, балалайки, гітари, гуслі, бандури, органи, піаніно. За допомогою цих інструментів люди створюють чарівні мелодії, які поліпшують нам настрій. Тепер стає зрозуміло чому вчення про відношення і пропорції древні греки називали музикою.

Хвилинка релаксації
Сядьте, як вам зручно. Закрийте очі. Уявіть собі яскраве нічне зоряне небо. Виберіть собі найяскравішу зірку. А тепер проковтніть її. Вона вибухає у вас, наповнюючи весь організм енергією. Енергія проникає в усі клітини вашого організму, і наповнює його бажанням щось зробити, а саме розв’язати задачі на застосування основної властивості пропорції.
III. Відпрацювання навичок
В школі піфагорійців учні розв’язують найрізноманітніші завдання з різних галузей науки, побуту, мистецтва. Отже і ми спробуємо хоч частинку таких задач розв’язати.
Давайте ми з вами розглянемо задачу № 622 (2-4)
В першу чергу складемо коротку умову
1ряд
2) 5год- 24км
8 год – х км
Відношення 24:5 і х:8 рівні оскільки кожне з них показує скільки пройшов турист за 1км. Тоді маємо: 24:5=х:8
Х= 24•8:5=38¸4
2ряд
2) 140кг свіжих- 21кг сушених
160кг свіжих – х кг сушених
Відношення 21:140 і х:160 рівні 21:140 = х:160
Х=21•160:140=24кг
3 ряд
3) 800см3 – 528кг
1500 см3 – х кг
528:800=х:1500; х=1500•528:800=900кг
ПОВІДОМЛЕННЯ
Молодці, ви гарно справилися із завданням і заслужили цікаве повідомлення про пропорцію, а саме про золотий переріз.
Термін „пропорційний” походить від латинського слова і означає „такий, що має правильне співвідношення між частинами та цілим. Повну теорію пропорцій було створено в Стар. Греції в 4ст. до н.е. в основному працями видатного вченого Евдокса Кнідського. Цю теорію докладно виклав Евклід у „Началах”; там доведено і основну властивість пропорції. Видатний художник ,архітектор ,інженер, скульптор та астроном епохи Відродження Леонардо да Вінчі на одному зі своїх малюнків зобразив людину у центрі Всесвіту, тим самим показав як використовується математика, а саме золотий переріз, для зображення ідеальних пропорцій тіла. Саме він ввів термін „золотий переріз” у 15 столітті. Портрет Мона Лізи ,який він намалював, базується на властивостях золотого перерізу.

Мона Ліза і „золоті прямокутники”

Отже, відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню більшої частини до його меншої частини:
Менша частина: більшої частини = Більша частина: цілого відрізку.
Саме цю пропорція,тобто рівність таких двох відношень назвали золотим перерізом.
Відношення Більша частина: цілого відрізку = 0,618 називають відношенням золотого перерізу. Стародавні греки вважали, що прямокутники,довжини сторін яких утворюють відношення золотого перерізу, найприємніші для ока.

Собор Святого Петра у Римі Площа Св. Петра, 1868 рік

Довільний прямокутник, відношення сторін якого дорівнює 0,618 називають „золотим”. Німецький психолог Фехнер у 1876 показував багатьом людям прямокутники різної форми і просив вибрати серед них той, що найбільше подобається. Переважна більшість вибирала прямокутник із відношенням сторін, яке дорівнює золотому перерізу. У наш час подібні дослідження провів американський нейрофізіолог Мак-Каллок і результати були ті самі.

Ермітаж

У середні віки вважали ідеальним тіло людини, для якої було характерне співвідношення золотого перерізу.
Гра «Ланцюжок»
Учні! Ви маєте по черзі розв’язувати рівняння, корінь попереднього рівняння треба підставити замість зірочки в наступне рівняння
1-й ряд: 1) 2:5=х:10;
2)*:24=х:48;
3) *:5=х:35;
4) х:36=14:*;
5) 36:24=*:х. (6)
2-й ряд 1) 5:3=х:6;
2) *:х=30:48;
3) *:х=12:6;
4)3:х=*:24;
5) 4:х=12:*. (3)
3-й ряд 1) 21:х=36:12;
2) х:*=9:21;
3) 4:*=16:х;
4) 4:11=*:х;
5) *:99=х:3. (1)
Розтуліть, будь ласка, свою ліву долоню і покладіть на неї той досвід, з яким ви прийшли сьогодні на урок. Відчуйте вагомість вашого досвіду, його цінність та значимість для вас. А тепер покажіть, будь ласка, свою праву долоню і покладіть на неї ту інформацію і той досвід, який ви здобули сьогодні. Відчуйте, чим є для вас цей досвід та його цінність. І коли я скажу: «Готово! Давай!» – ви з’єднаєте дві долоні разом – об’єднаєте
IV. Підсумок уроку
Ось і підійшла до кінця наша подорож до світу „Відношень і пропорцій”. Я гадаю ми плідно попрацювали ,повторили означення відношення, пропорції , основну властивість відношення і пропорції і побачили, що пропорція у нашому житті зустрічається дуже часто. Недарма про красиві речі кажуть, що вони „пропорційні”, „гармонійні”. Отже гармонії вам усім !
V. Домашнє завдання
• Розгадайте кросворд «Що спільного між пропорцією та природою»
Що спільного вбачали піфагорійці в пропорції і природі?

a:b = c:d
1).Як називаються члени пропорції а і d?
2). Як називаються в пропорції члени в і с?
3). Як називається пропорція, значення лівої і правої частин якої є одне й те саме число?
4)Як називається другий член відношення?
5)Яким математичним терміном можна замінити слово відношення?
• Прийміть участь у середньовічному конкурсі краси, тобто визначте чи характерне для вашого тіла відношення золотого перерізу.

ДОДАТКИ
„У музиці чимало подібного алгебрі „